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Mesure et incertitude de mesure

"Je veux comprendre les enjeux de la mesure"

Mise à jour le 7 mai 2019

Bien mesurer pour bien décider

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La maîtrise des processus de mesures est indispensable à la prise de décision en entreprise. Maîtriser les processus de mesure ne signifie pas atteindre une précision extrême mais obtenir des résultats adaptés aux besoins.

En effet les processus de mesure ont leur propre variabilité.  La mesure ne correspond jamais à une réalité absolue. La mesure permet seulement d'approcher cette réalité.

Variabilité de la production et variabilité de la mesure

Ainsi on verra que la variabilité totale d'un processus est égale à la variabilité du processus de production plus la variabilité de la mesure :

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C'est pour cela que les moyens de mesures doivent être préalablement validés. Si le processus de mesure n'est pas maîtrisé, il sera impossible de prendre des décisions ou pire encore les décisions qui auront été prises seront erronnées.
Note : Dans certains cas, une dispersion du processus de mesure importante conduit à une surestimation de la variabilité du processus de production.

La mesure

De quoi s'agit-il ?

Le processus de mesure a pour vocation d'approcher la valeur vrai d'une grandeur. Par exemple la largeur d'une table, ou votre poids sur la balance le matin.

Le processus de mesure

Le mesurage est un processus. Il peut être représenté selon le diagramme des 5M . En effet, tous les mesurages génèrent des erreurs sur le résultat. Ces erreurs sont dues à la méthode de mesure, aux instruments, aux personnes, à l'environnement, et à l'objet mesuré lui même.


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Ce diagramme permet de représenter le processus de mesure et les éléments qui influent sur le résultat. Le mesurage étant réalisé dans un système de mesure imparfait, toute valeur de mesure est par conséquent fausse.

On peut donc affirmer avec certitude que le poids que j'ai lu sur ma balance ce matin ne correspond pas à mon poids réel.

Erreur de mesure et incertitudes de mesures

Le résultat d'une mesure peut s'exprimé comme suit:

Résultat de mesure = valeur vraie + erreur de mesure

La valeur vraie est la valeur que l’on obtiendrait par un mesurage parfait, c'est à dire (sans incertitudes). Autant dire que la valeur vraie est utopique. La valeur vrai sera donc toujours une inconnue que l'on cherchera à déterminer le mieux possible.

Toute personne qui prend une mesure doit toujours prendre du recul par rapport à la valeur qu'il annonce.

Le mot "incertitude" signifie doute. Ainsi dans son sens le plus large "incertitude de mesure" signifie doute sur la validité du résultat de mesurage.

L'expression quantitative du concept d'incertitude de mesure est réalisé grâce à l'écart type.

On observe régulièrement que si l'on fait plusieurs fois une même mesure on observe des résultats qui diffèrent entre eux. Il y a donc une incertitude de mesure associée à chaque résultat. L'incertitude nommée U est représentée par une plage de valeur de telle sorte qu'il y ait de fortes probabilités que la valeur vraie s'y trouve incluse.

Il faut bien faire la différence entre l'erreur de mesure et l'incertitude de mesure. L'erreur de mesure correspond à l'écart entre la valeur vraie et la valeur mesurée. L'incertitude de mesure est la dispersion des valeurs pouvant être attribuée au mesurande.

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Notation :

  • Vm : Valeur mesurée
  • U : Incertitude de mesure

On exprimera le résultat de la façon suivante : Vm ± U.

Par exemple, le poids relevé sur le pèse-personne pourra être exprimé ainsi : 81.2±0.3 Kg.

Tolérancement

En générale, les spécifications attendues sur un produit sont accompagnées d'une tolérance. Il s'agit de la zone de valeurs accepetable que peut prendre la grandeur.

Notation :

  • Vc : Valeur cible
  • T : Tolérance

On exprimera la spécification de la façon suivante : Vc ± T/2.

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Lien entre tolérance et incertitude

Il est évident que si l'incertitude de mesure est trop élevée au regard de la tolérance il sera difficile de juger de la conformité des produits.

Considéront les 3 cas suivants :

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Le bon sens nous amène à conclure que la situation dans le cas est bien plus favorable que la situation dans le cas 3.

L'adéquation entre l'incertitude U de mesure et la tolérance T est la capabilité.

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Le rapport entre U et T doit être compris entre 1/2 et 1/10. Cette exigence doit permettre de déterminer le moyen le plus adapté en fonction des besoins et contraintes économiques. En effet, l'acquisition et la maîtrise de certains moyen de contrôle peut s'avérer onéreux.

Gérer la zone de doute

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Décider

La définition d'une zone de doute permet de déterminer des règles de décsion en fonction de la localisation de la valeur mesurée.

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Incertitude de mesure

Les principaux guides en vigeur pour l'expressiond des incertitudes de mesure sont :

  • Le GUM
  • La norme NF ISO 5725

Que l'on s'appuie sur l'une ou l'autre de ces deux méthodes, le concept d'incertitude de mesure est le même, dans les 2 cas nous allons estimmer les écarts-types des variables aléatoires.

Concept d'incertitude

Illustration par un exemple

Prenons 2 groupes de personnes dont on mesure la taille.

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La valeur de l'écart type expérimental est calculée dans la colonne orange. Vous retrouverez la méthode de calcul en suivant ce lien .

Ensuite on peut obtenir les valeurs de l'estimation de l'écart type des moyennes. Cet écart-type est donnée dans la colonne jaune pour chacun des groupes. Il est égale à l'écart type de la population divisé par la racine carrée de la taille d'échantillon. Voir le théoreme central limite .
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Dans notre exemple nous diviserons les écarts types des échantillons par la racine de 3.

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L'écart type calculé dans l'exemple ci-dessus donne un intervalle probable pour une valeur  x i.

Cette la même logique que pour un contrôle. On fait en générale n fois la mesure.
- La moyenne est alors calculée.
- L'incertitude ( écart type estimé de la moyenne ) est alors associée à la moyenne des mesures.

Dans notre exemple on pourra dire que la taille moyenne

  • du groupe 1 est égale à 177 ± 2.65 et
  • du groupe 2 est égale à 171 ± 4.58.

On exprimera par cet intervalle la plage de valeur probable.

Cas ou la distribution des valeurs suit une loi normale

Si la distribution des valeurs suit une loi normale on peut alors affirmer qu'il y a 68,3 % de chances pour que la moyenne ait une valeur vraie qui soit encadrée par plus ou moins un écart type soit :

Expression de l'incertitude : x ± s(x).

Il y a malgré tout, 31,7 % de chance que cela soit faux. Cet intervalle de confiance est par conséquent pas toujours suffisant. On peut alors utiliser un facteur d'élargissement K qui donnera un intervalle de confiance plus large. Le facteur k sera multiplié aux écarts-types :

Expression de l'incertitude élargie : x ± k x s(x)

Le facteur à appliquer dépend du niveau de confiance que l'on souhaite avoir.

Facteur k Niveau de confiance ( en % )
1
68.27
1.64
90
1.96
95
2
95.45
2.57
99
3
99.73

Dans notre exemple, avec un facteur k de 2 on pourra dire que la taille moyenne

  • du groupe 1, il y a 95.45% de chance pour que la valeur vrai de la moyenne des résultats soit comprise dans l'intervalle suivant : 177 ± 2 x 2.65  soit  177 ± 5.3 avec
  • du groupe 2, il y a 95.45% de chance pour que la valeur vrai de la moyenne des résultats soit comprise dans l'intervalle suivant : est égale à 171 ± 2 x 4.58 soit  177 ± 9.16

Lorsque l'on exprime une incertitude élargie on doit toujours donner le facteur d'élargissement où le niveau de confiance associé.

Pour pouvoir appliquer les niveau de confiance précédent il faut s'assurer que les mesures suivent la loi normale, ou que la taille de l'échantillon n est supérieure à 30. ( Voir explication dans le dossier théorème central limite )

Cas ou la distribution des valeures suit une loi de student

La distribution de Student ressemble à une loi normale aplatie. Plus la taille d'échantillon augmente plus la loi de Student ressemble à la loi normale.  Les deux lois se superposent à partir du moment où le nombre d'échantillons atteint 30 valeurs.

Lorsque nous utiliserons la loi de Student le facteur d'élargissement s'appellera “t” au lieu de “k”.

Pour déterminer le facteur d'élargissement a appliqué il faut non seulement tenir compte du niveau de confaence souhaitée mais également du nombre de degrés de liberté.

Rappel : Le nombre de degrés de liberté est égal à n-1

La loi de Student est applicable dans tous les cas de figure. La loi normale elle est applicable uniquement lorsque l'on sait que les mesures suivent une loi normale ou que la taille d'échantillon est supérieure à 30.


Evaluation simplifiée de l'incertitude du processus de mesure

Il n'est pas toujours possible d'estimer la certitude de mesures selon les méthodes GUM et 5725. En effet déterminer les incertitudes de mesure avec autant de finesse peut s'avérer coûteux pour les entreprises.

Ainsi pour les mesures qui ne sont pas critiques pour l'entreprise il est possible d'utiliser une méthode simplifiée d'évaluation de l'incertitude de mesure.

On émet l'hypothèse que dans le processus de mesure il existe principalement deux sources d'incertitude. Celles dues à :

  • L'instrument utilisé ( Moyen)
  • aux autres sources d'incertitudes selon les 4M  restant ( Milieu, Méthode, Main d’oeuvre, Matière)

Evaluation de l'incertitude simplifiés :
U mesure = U moyen + U autres
U moyen = U autres
U mesure= 2 x U moyen

Si l'on souhaite par exemple un processus de mesures permettant d'obtenir un rapport U/T de 1/6 l'appareil de mesure à retenir devrait avoir une incertitude d'étalonnage inférieur ou égal à 1/12.
En effet 1/6 = Umoyen/T donc Umoyen=T/12.

Prenons l'exemple d'une Tolérance T = 0.1, l'incertitude maximum de l'appareil sera de 0.1/12=0.0083

Justesse et fidélité

La qualité d'une mesure s'apprécie grâce à son exactitude. L’exactitude représente l'aptitude d'une mesure à donner un résultat proche de la valeur vraie.Celle-ci est composée de deux grandeurs : La justesse et la fidélité. Il est nécessaire de connaître ces deux valeurs si l'on veut comparer des méthodes de mesure, pour s'améliorer ou pour suivre sa stabilité dans le temps.

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Justesse

La justesse  : Etroitesse de l'accord entre la valeur moyenne obtenue à partir d'une large série de résultat d'essai et une valeur de référence acceptée.

NF ISO 5725-1

Pour un instrument de mesure, il s'agira de son aptitude à donner des indications exemptes d’erreurs systématiques.

La justesse permet de savoir si une méthode présente un biais par rapport à une valeur vraie ou une valeur de référence accepté. Toutefois cette valeur n'est pas toujours accessible dans la mesure où l'on ne dispose pas forcément de valeur de référence.

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Fidélité

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La fidélité et le terme général qui exprime la variabilité entre les mesures. Elle permet de savoir si la forme fournit des résultats comparables lors de répétition pour des conditions de mise en œuvre identiques ou différentes.

La fidélité caractérise la variabilité du processus de mesure. Elle a 2 composantes :

La répétabilité est l'expression des variations propres à l'appareil de mesure. Elle est obtenue par répétition des mesures d'une caractéristique en gardant les mêmes contion sur les 5M. Pour ce faire la répétion des mesures doit se faire dans un court laps de temps.

La reproductibilité est l'expression des variations issues de l'ensemble des facteurs du 5M .

La répétabilité

Sous des conditions de répétabilité, la variabilité du système de mesure est minimale et ne comporte que la composante de la répétabilité.

Dans notre exemple un qualiticien cherche à déterminer l'aptitude d'un nouveau système de mesure pour mesurer une caractéristique d'un produit fini. 10 unités de produits finis sont prélevés et un contrôleur réalise une série de 2 mesures pour chacune des unités prélevés. Les deux mesures sont réalisés dans un intervalle de temps court avec l'ensemble des conditions de répétabilité réunis. Dans notre exemple la spécifications demander et de 19 ± 4. Vous trouverez ci-dessous le tableau des mesures relevées par l'opérateur.

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On peut tout de suite remarqué que toutes les mesures ne sont pas identiques. Le processus de mesure a donc une incidence sur la variabilité totale. Pour rappel nous avions vu plus haut que la variabilité totale était due pour une part à la variabilité de la production et d'autre part à la variabilité de la mesure :

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Étant donné que les mesures sont effectuées sous des conditions de répétabilité nous pourrons modifier la formule vu plus haut par cette nouvelle formule :

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La carte X trace le pouvoir discriminatoire de l'instrument de mesure, tandis que la carte R permet de décrire l'amplitude de l'erreur de mesure. La carte R montre que le processus est stable ce qui indique que l'opérateur n'a pas de difficultés à utiliser l'instrument de mesure. Voici les cartes de contrôle que nous obtenons :

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La carte X trace le pouvoir discriminatoire de l'instrument de mesure. Une carte qui aurait un faible pouvoir discriminatoire aurait un tracé qui serait relativement plat puisqu’il ne serait pas capable de rendre visuel les petites valorisations. Dans ce cadre-là les limites de surveillance ne seront pas utilisé puisque l'objet de la démarche n'est pas de surveiller la variabilité du process mais bien de déterminer l'aptitude du processus de mesure.
La carte R permet de décrire l'amplitude de l'erreur de mesure. Dans ce contexte c'est cette carte qui est particulièrement importante. Dans notre exemple la carte R montre que le processus est stable, les étendues sont toujours du même ordre. Cela indique que l'opérateur n'a pas de difficultés à utiliser l'instrument de mesure.

L'estimateur de l'écart type est calculé.

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La valeur obtenue est de :

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L'aptitude de notre système de mesure peut-être calculé en faisant le rapport entre la dispersion et la tolérance. Ce rapport est noté PS.

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La valeur obtenue est de :

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i la valeur de PS est inférieur eà 10 % alors elle est jugée bonne. Si elle est supérieure,le processus ne sera pas considéré comme capable.

Choisir le processus de mesure

Le choix du processus de mesure est conditionné par : • la caractéristique à mesurer ; • les technologies disponibles pour accéder à ladite caractéristique ; • le temps d’obtention du résultat ; • le coût d’investissement initial ; • le coût de possession du processus.

Etude R&R

Histoire

Le système international d'unité (SI)

Le Système international d'unités a été créé au moment de la révolution française.

Le Système international d'unités est le système d'unités le plus largement employé au monde ; mais il n'est pas officiellement utilisé aux États-Unis, au Liberia et en Birmanie.

La Conférence générale des poids et mesures décide de son évolution, tous les quatre ans.

Actualité le 13 novembre 2018 : Une réforme majeure du Système international d'unitésa été décidée à Versailles, lors de la 26e Conférence générale des poids et mesures (CGPM), du 13 au 16 novembre. L'ambition de cette grande réforme est d'établir un système d'unités plus cohérent, plus stable et universel. Ainsi le kilogramme, la mole, l’ampère et le kelvin ne reposent plus sur un objet matériel particulier mais sont établi à partir de constantes.  ( Voir : article : Futurascience du 13.11.18)
Livres de référence sur le thème de la mesure

Cette page a été inspiré par la lecture de ces deux livres :

Livre de Christophe Bindi

Livre de Christophe Perruchet et Marc Priel

Définition  ( Issues de la norme  NF X 07-001)

  • Grandeur « Attribut d’un phénomène, d’un corps ou d’une substance, qui est susceptible d’être distingué qualitativement et déterminé quantitativement. »
  • Valeur d’une grandeur « Expression quantitative d’une grandeur particulière, généralement sous la forme d’une unité de mesure multipliée par un nombre. »
  • Valeur vraie « Valeur compatible avec la définition d’une grandeur particulière donnée. »
  • Mesurage « Ensemble d’opérations ayant pour but de déterminer la valeur d’une grandeur. »
  • Mesurande « Grandeur particulière soumise à mesurage. » Le mesurande est ce que l’on souhaite mesurer.
  • Grandeurs d’influence « Grandeur qui n’est pas le mesurande mais qui a un effet sur le résultat du mesurage. »
  • Justesse « Aptitude d’un instrument de mesure à donner des indications exemptes d’erreurs systématiques. »
  • Fidélité (ou répétabilité) « Aptitude d’un instrument de mesure à donner des indications très voisines lors de l’application répétée du même mesurande dans les mêmes conditions de mesurage.
  • Exactitude « Aptitude d’un instrument de mesure à donner des indications proches d’une valeur vraie. »
  • Incertitude de mesure « Paramètre associé au résultat d’un mesurage, qui caractérise la dispersion des valeurs qui pourraient raisonnablement être attribuées au mesurande. »
  • Incertitude-type « Incertitude du résultat d’un mesurage exprimée sous la forme d’un écart-type. »
  • L’incertitude-type composée, c’est-à-dire l’incertitude globale associée au résultat d’un mesurage, se calcule alors en faisant la somme des incertitudes-types.
  • Étalonnage « Ensemble des opérations établissant, dans des conditions spécifiées, la relation entre les valeurs de la grandeur indiquées par un appareil de mesure, et les valeurs correspondantes de la grandeur réalisées par des étalons. »
  • Vérification « Confirmation par examen et établissement de preuves que les exigences spécifiées ont été satisfaites. Le résultat d’une vérification se traduit par une décision de remise en service, d’ajustage, de réparation, de déclassement ou de réforme. »
  • Erreur maximale tolérée « Valeurs extrêmes d’une erreur tolérée par les spécifications, les règlements, etc., pour un instrument de mesure donné. »
  • Ajustage « Opération destinée à amener un instrument de mesure à un état de fonctionnement convenant à son utilisation. »

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Suite de cette page en cours de rédaction. Revenez à partir du 18 mars 2019

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