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La distribution binomiale

"La loi binomiale"

Mise à jour le 7 mai 2019

Avant d'aborder la loi binomiale il est important de comprendre qu'est ce que la loi de Bernoulli.

I) La loi de bernouilli

Dénombrement d'un variable qualitative binaire

Une bonne manière de résumer une variable binaire consiste à procéder à un dénombrement.

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Transformation d'une variable binaire en une variable de bernoulli

Pour résumer une variable binaire, on peut également procéder à une transformation. Il s'agit alors de transformer la variable binanaire en une variable quantitative dont les modalités possibles sont 1 et 0.

On choisira arbitrairement quelle valeur correspond à 1 et quelle valeur correspond à 0.

Dans notre exemple on choisira.

  • Femme = 1
  • Homme = 0

Calcul des paramètres

Cette transformation permet alors de calculer les paramètres statistiques suivants :

Moyenne

La moyenne est égale à la somme des modalités codées 1 divisé par le nombre de valeur N.

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Elle est donc égale à la proportion P de la modalité codée 1.

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Dans notre exemple :

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Variance

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La variance d'une variable de Bernoulli a une proprété particulière puisque que, au maximum, elle peut atteindre 0.25.

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Dans notre exemple elle est égale à :

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Ecart type

L'écart type est bien évidemment égale à la racine carrée de la variance.

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Epreuve de Bernoulli

Une épreuve de bernoulli est une expérience aléatoire dont l'issue se traduit soit par un "succès" soit par un "échec".

Notation :
  • p est la probabilité de succès à un essai
  • q est la probabilité d'échec à un essai. q = ( 1 - p)

Exemple avec Pile ou Face

 

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Avec 2 jets

Si on jette 2 fois la pièce, 4 situations sont possibles.

Chacune de ces situations  a 25% de chance de se produire.

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Quelle est la probabilité de tirer une seule fois pile ?

Elle est présente dans la situation 1 et dans la situation 2. Il faut donc faire la somme de ces 2 situations soit une probabilité de 5%.

Quelle est la probabilité de tirer deux fois pile ?

Elle est présente dans la situation 4 uniquement, la probabilité est donc de 0.25.

Avec 3 jets

Si on jette 3 fois la pièce, 4 situations sont possibles.

Chacune de ces situations  a 25% de chance de se produire.

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Quelle est la probabilité que le résultat du premier jet soit pile et que le second soit face?

Elle est présente uniquement dans la situation 1. La probabilité est de 25%.

Quelle est la probabilité de tirer une seule fois pile ?

Elle est présente dans la situation 1 et dans la situation 2. Il faut donc faire la somme de ces 2 situations soit une probabilité de 50%.

Quelle est la probabilité de tirer deux fois pile ?

Elle est présente dans la situation 4 uniquement, la probabilité est donc de 25%.

3 jets avec un même probabilité pour pile ou face

Voici un exemple avec 3 jets :

Chacune de ces situation à une probabilité de 0.125 de survenir. 

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Lorsque nous prenons l'exemple d'une pièce de monnaie non truquée la probabilité repective de chaque côté de la pièce est de 0.5. En conséquence les probabilités de chaque situation sont les mêmes.

3 jets avec un probabilité différente de trouver pile ou face

Si nous prenons par exemple une pièce truquée dont la probabilité de tombée sur pile n'est que de 0.3 alors les probabilités de chaque situation seront changées.

Avec cette pièce truquée, la probabilité de tomber 3 fois sur pile n'est que de 2.7%.

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Généralisation

La probabilité de trouvé 1 fois pile pour n lancés peut se généraliser avec la formule suivante :

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La probilité de trouvé k fois pile pour n lancés peut se généraliser avec la formule suivante : Responsive image

Cette probabilité ne correspond qu'à une situation donnée. ( Par exemple la situation 1 ). Pour connaître la probibilité de toutes les situations possibles il faut calculer le nombre de combinaison dans lequel ce cas de figure arrive. (Voir chapitre combinaison ci-desssous)

Combinaison

Notation :

  • n correspond au nombre d'objet de l'ensemble
  • r correspond au nombre d'objet du sous ensemble choisi parmi les n objets.

Une combinaison est une sélection de r élément parmi un jeu de n objets distincts (sans prise en compte de l'ordre) parmis lesquels les r éléments sont sélectionnés. Le symbole nCr est utilisé pour désigner le nombre de possibilité de choisir r élément parmi n.

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  • n! représente le produit de tous les entier de n à 1
  • r! représente le produit de tous les entier de r à 1

Rappel le symbole"!" signifie factoriel et se calcule comme suit: n!=n*(n-1)(n-2)...

Exemple : Jetons

Imaginons que nous ayons 4 jetons de quatres couleurs différentes : Vert, bleu, jaune et rouge. On demande à une personne de piocher à l'aveugle deux jetons.
Combien de combinaisons (de couples) possibles la personne pourra t'elle tirer ?

Interprétation de l'énoncé : Il y a 4 jetons dans l'ensemble donc n sera égale à 4.
L'individu sélectionne 2 jetons parmi 4 donc r sera égale à 2. On cherche le nombre de combinaisons possibles qui sera calculé avec la formule ci-dessous.

Le résultat de notre exemple donne:

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Il y a donc 6 combinaisons possibles.

II) La distribution binomiale

La distribution binomiale décrit la distribution de probabilités lorsqu'il y a 2 résultats possibles à chaque essai. (appelé succès ou échec)

Le résultat d'un essai doit être indépendant des résultats des autres essais.

La loi binomiale s'applique donc quand il y un nombre défini de répétitions d'une même expérience dans les mêmes conditions.

La probabilité de succès est constante à chaque tirage.

Cas d'utilisation de la loi binomiale
Exemple
Variables discrètes
1,2,3,4...
Deux résultats possibles
Nombre "pair "ou"impair"; "coté pile" ou "coté face" ; produit "bon" ou "défectueux"
Essais répétitif et dans les mêmes conditions
Les lancés de pièces de monnaie dans des conditions identiques.
Essais indépendants
Le résulat du premier lancé de pièces n'a pas d'incidence sur le second lancé.

La notion de combinaison doit être présentée avant d'aborder l'utilisation des probabilités binomiales.

Calcul de la probabilité binomiale avec une formule 

La formule de calcul du nombre de combinaisons est utilisée par la formule de la loi binomiale.

La loi binomiale a deux résultats possibles appellés "succès" et "échec". Le succès est le résultat pour lequel nous souhaitons déterminer la distribution de probabilité. Pour calculer la probabilité d'obtenir r succès en n essai il faut utiliser la formule suivante :

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Notation :

  • n correspond au nombre d'objet de l'ensemble
  • r correspond au nombre d'objet du sous ensemble choisi parmi les n objets
  • p est la probabilité de succès à un essai
  • q est la probabilité d'échec à un essai.
  • P(r) est la probabilité d'obtenir r succès

Lors du même essai la somme de la probabilité de succès p et de la probabilité d'échec q est égale à 1: p+k=1

Exemple : Contrôle d'entrée marchandise

Dans le service de contrôle d'entrée, un qualitaticien souhaite savoir quel risque il prend lors du contrôle des pièces d'un fournisseur "laqualitécameconnait". Le qualitaticien sait par expérience que ce fournisseur lui fournit 5% de pièces non-conformes et livre des lots d'une quantité de 400 pièces.
Le contrôle qualité effectue habituelement un contrôle par échantillonnage de 8 pièces sur les 400 pièces livrées.

Quel est le risque que sur les 8 pièces prélevés qu'un défaut soit détecté alors que le lot présente 5% de pièces non-conformes ?

Interprétation de l'énoncé :

  • n=8
  • r=1
  • p=0.05
  • q=95
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Il a donc 28% de chance de tomber sur 1 défaut.

Ce qui intéressera le qualitaticien est la probabilité de détecté un défaut ou plus dans l'échantillon. Pour ce faire nous devons additionner les probabilités de détecter 1, 2, 3...8 défauts.

Résultats Note de l'examen
P(r=0) 66,34%
P(r=1) 28%
P(r=2) 5,15%
P(r=3) 0,54%
P(r=4) 0,04%
P(r=5) 0%
P(r=6) 0%
P(r=7) 0%
P(r=8) 0%
Total
100%

Avec ce type d'échantillonnage le contrôle d'entrée ne détectera de pièces non-conformes que dans 33% des cas.

27,93% 5,15% 0,54% 0,04%= 33%

Il y a donc seulement 33% de chances de détecter des non conformités avec cette taille de prélèvement.

Note : Il est possible d'arriver à ce résultat sans passer par le calcul. En effet il existe une table binomiale qui permet de trouver les résultats de façon rapide. Elle est disponible sur le lien suivant : Table de la loi binomiale .

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