Utiliser la loi normale

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loi normale

Ce que vous allez apprendre

  • Interprêter une loi normale
  • Calculer le Z-score et les probabilités avec excel
  • Trouver des liens vers les tables de la loi normale
  • Lire les tables

La distribution normale c'est quoi ?

A la différence de la loi de Poisson ou de la la loi Binomiale qui sont des distributions de probabilité discrète, la distribution normal est une distribution de probabilité continue.

On peut parler également de distribution gaussienne. On notera que sa représentation graphique est appelée courbe en cloche. La courbe normale a la particularité d'être symétrique.

Pourquoi la loi normale est intéressante ?

La loi normale est remarquable par le fait qu'elle décrit une grande partie des phénomènes naturels. (science physique, sociale, medecine, agriculture, Business...) . Elle peut être utilisé dans un grand nombre de situations, c'est ce qui la rend si utile.

Lorsqu'un phénomène est influencé par de nombreux facteurs dont aucun n'est prépondérant les résultats des mesures de ce phénomène obéissent à une loi normale.

Quelle est la formule de la loi normale ?

La variable utilisée est continue, c'est à dire qu'elle peut prendre un nombre indéfini de valeurs.

Cette courbe a deux paramètres : μ et σ.

formule loi normale


Son équation finalement très simple puisque ces 2 seuls paramètres suffisent : μ et σ. Les autres éléments de l'équation sont des constantes : Le nombre d'Euler e ( 2,71828) et Pi π (3.14159).

N'ayez pas peur de cette formule puisque vous n'aurez pas à l'utiliser, en effet les outils tel que excel permettent de réaliser très facilement son calcul.

Loi normale centrée réduite

Pourquoi utiliser la loi normale centrée réduite ?

Parce qu'il y a un nombre illimité de loi normale, les mathématiciens ont simplifié les choses pour nous en calculant les aires sous une loi normale spéciale de paramètres : μ=0 et de σ=1. Cette distribution est connue sous le nom de loi normale centrée réduite.

Interprêtation de l'écart type de la loi normale centrée réduite

Elle est spéciale car ses valeurs en abscisse représentent des unités d'écart type.

Sur l'axes des abscisses on trouve des valeurs allant de -6σ à +6σ. Le centre de la courbe est positionné au dessus de 0.

Toutes les distributions normales de moyenne 0 et d'écart type de 1 sont appelées des distributions normales standard.

Aires sous la courbe
loi normale - 1 écart type - aire sous la courbe

loi normale - 2 écarts type - aire sous la courbe

loi normale - 3 écarts type - aire sous la courbe

 

On peut ici faire les affirmations suivantes :

  • entre le 0 et ±1σ vous aurez 68.3% de vos observations.
  • entre le 0 et ±2σ vous aurez 95.4% de vos observations.
  • entre le 0 et ±3σ vous aurez 99.7.% de vos observations.

Ces valeurs sont des valeurs remarquables. Cela nous amène de nouvelles questions :

  • Comment faire pour savoir combien d'obervations sont comprises entre (par exmple) 0 ± 1.8σ ?
Astuce excel

Il est possible d'utiliser la formule excel suivante : =LOI.NORMALE.STANDARD.N(Z;VRAI)-(1-LOI.NORMALE.STANDARD.N(Z;VRAI))

Par exemple, pour calculer la probabilité dans une aire comprise entre -1.8 α et +1.8 α on appliquera la formule en remplaçant Z par 1.8 :
=LOI.NORMALE.STANDARD.N(1.8;VRAI)-(1-LOI.NORMALE.STANDARD.N(1.8;VRAI))

Le résultat obtenu sera : 92.82%

Le Z-score

Pourquoi utiliser le Z-score

L'idée ici est de convertir les valeurs de l'unité de mesure original en une nouvelle unité appelé le Z-score (ou cote Z). La cote Z correspond au nombre d'écarts types séparant un résultat de la moyenne.

Prenons l'exemple ci-dessous d'une distribution quelquonque centré sur μ et d'écart type σ.

loi normale - le z score

La formule est la suivante :

Formule calcul du z - loi normale

Autrement formulé, le Z score défini de combien d'écart types la valeur recherché est éloignée de la moyenne.

Avec ce calcul on déplace la distribution sur "0" en retirant la valeur de la moyenne μ et on obtient un écart type égale à "1" en divisant par l'écart type de la population.

Le Z-score deviendra votre coordonnée. Vous n'aurez plus à soustraire μ car la moyenne sera déjà de 0 et vous n'aurez pas à diviser par sigma σ car l'écart type sera déjà de 1.

Utilisation de la table de probabilité de la loi normale centrée réduite

Les tables sont constituées généralement d'un schéma et d'un tableau.

Les schémas

Il est important de savoir qu'il existe plusieurs types de tables de loi normale centrée réduite. La lecture de la probabilité varie d'une table à l'autre. Pour clarifier cela les tables possèdent généralement un schéma explicatif au sommet de celle-ci. Il faut donc être attentif à la zone grisée qui représente l'aire de la probabilité considérée.

Voici quelques exemples de ces schémas :

comment lire la table de la loi normale ?
comment lire la table de la loi normale ?
comment lire la table de la loi normale ?
comment lire la table de la loi normale ?

Voici quelques lien vers des tables : Lien 1 , Lien 2 , Lien 3

Pour la démontration ci-dessous, la table du Lien 1 a été utilisée. Dans ce document vous pouvez identifier deux pages. Vous remarquer le schéma suivant sur la première page.

comment lire la table de la loi normale ?

Remarquez un deuxième shémas en haut de la seconde page. Soyez attentif à chacun de ces 2 shémas qui indiquent précisément les zones de probabilité considérées.

comment lire la table de la loi normale ?

Le tableau

Le Tableau a pour sa part 2 zones.

On retrouve notre variable z qui est notre donnée d'entrée. (que j'ai indiqué en marron) et notre probabilité (que j'ai indiqué en bleu).

L'unité et le permier chiffre après la virgule sont dans la première colonne. Le second chiffre se trouve sur la première ligne.

La zone centrale indique les probabilités associées. Ainsi pour un z donné on trouvera une probabilité spécifique.

comment lire la table de la loi normale ?

La valeur Z commence à -3.4 et atteint zéro en bas du tableau. Ainsi cette première page concerne que les valeurs négatives de z.

Comment lire la table de la loi normale centrée réduite ?

Exemple 1 :

On lit le tableau de la façon suivante :

comment lire la table de la loi normale ?

Pour un Z de -2.51 seul 0.6% des valeurs sont en dessous de ce seuil.

Exemple 2 :

Prenons cette fois-ci une valeur positive de z = 1.65

comment lire la table de la loi normale ?

Pour un Z de 1.65 seul 95.05% des valeurs sont en dessous de ce seuil.

Utilisation de la loi normale (Exemples)

Dans notre exemple nous utiliserons la distribution ci-dessous

Exemple lecture table de la loi normale

La distribution centrée sur 20 et a un écart type égale à 2.

Rappel : Si l'on considère l'aire total sous la courbe elle est égale à 1. La probabilité est directement associé à l'aire et est également égale à 100%

3 exemple de calcul de probabilité

Cas n°1

On considéra l'aire entre 2 valeurs 20 et 25 qui seront placés en abscisse.

Exemple lecture table de la loi normale

Pour déterminer la probabilité, il faut déterminer l'aire sous la courbe. Pour ce faire on utilise la loi normale centrée réduite dont on extrapolera les résultats pour chaque distribution normale étudiée.

Z est calculé avec les paramètres suivants :

  • Valeur x=25
  • Moyenne μ =20
  • Ecart-type σ=2

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On sait grâce à ce calcul qu'il y a 2.5 σ entre 25 et 20. Si le signe de Z est positif cela signifie que l'on se situe à 2.5 σ à droite de la moyenne.

Si on lit la valeur sur la table correspondantà 2.5 sur la deuxième page ont trouvera une probabilité de 0.9938. La valeur de 0.9938 correspond à la probabilité associèe à toutes les valeurs inférieures à 25. Pour obtenir la probabilité associée à l'intervalle de [20-25]. Il faut retrancher les probabilités associées à toute la partie gauche de la courbe soit 0.5.

Ainsi la probilité est égale à 0.9938-0.5 = 0.498.

Cas n°2

L'aire sous la courbe ne dépend pas toujours de un seul z, il peut dépendre de plusieurs z comme cela est représenté dans les intervals étudiés suivants constitués de deux valeurs z spécifiques.

Exemple lecture table de la loi normale

  • μ=20
  • σ=2
  • Limite inférieure = 26
  • Limite supérieure = 28
  • Interval = 2

Cas n°3

Exemple lecture table de la loi normale
  • μ=20
  • σ=2
  • Limite inférieure = 24
  • Limite supérieure =26
  • Interval = 2

Remarques : les courbes des cas n°2 et n°3 ont les mêmes paramètres : μ et σ. L'interval est pour les deux cas est égale à 2 unités cependant l'aire sous la courbe est visiblement différente.

Afin de faciliter le calcul, vous trouverez dans le tableau de synthèse ci-dessous les calculs réalisés avec une feuille excel. Il intègre les calculs de correspondance pour 3 situations. Les valeurs z sont caculés de la même manière pour l'exemple 1.

Tableau de calcul des valeurs de z - loi normale

Pour obtenir la probabilité de l'aire entre les z spécifiques, on procède par soustraction des probabilités associés aux 2 vaeur z.

En conséquence la probabilité du cas 2 est égale à 1-0.999 = 0.001.

En conséquence la probabilité du cas 3 est égale à 0.999-0.977 = 0.021.

Le processus est le suivant :

  1. Nous identifions les valeurs z de chaque limites.
  2. Depuis la table nous trouvons les aires pour chaque valeur z.
  3. En fonction de chaque situation nous ajoutons ou soustrayons les probabilités.
Etes-vous curieux ? Alors je vous conseille...

Livre très pratique pour faire des statistiques avec Excel rapidement. Cette page a été inspirée de méthodes décrites dans ce livre.
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Pour aller plus loin consulter également le site qui constitue une importante source de connaissance : http://onlinestatbook.com/

Exemple dans le contexte d'un contrôle de produits

Imaginons une entreprise produisant des meubles de cuisine. Une des cotes de hauteur est paticulièrement importante pour assurer la fonction des ouvertures. Elle souhaite déterminer la qualité d'un de ses lots de production à partir d'un échantillon.

L'échantillon aura les paramètres suivants
  • x=50.41
  • s=0.1
  • Cible et tolérance : 50.5 ±0.2
    • Limite inférieure = 50.3
    • Limite supérieure =50.7
    • Interval = 0.4

Les valeurs de z sont calculés de la façon suivante :

Calcul des valeurs de z - loi normale

A l'aide de la table nous obtenons la probabilité P1=13.57% par une lecture directe.
La probabilité P2 se fait en 2 temps. Tout d'abord en lisant la valeur correspondante au z de 2.9 : 0.9981 puis en soustrayant cette valeur à 1 :
1-0.9981 = 0.00187 soit 0.187%

La proportion de pièces non-conformes est de 13.57%+0.187% = 13.757%

Exemple de calcul des valeurs de z - loi normale

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