Paramètres statistiques : Moyenne, Médiane, Etendue, Ecart-type...

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Les paramètres

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• Nombre
• Somme
• Moyenne
• mediane
• Mode
• Étendue
• IQR
• Variance
• Ecartype
• Estimateur ecart type
• Estimateur ecart type calculé à partir de l'étendue

Les paramètres élémentaires

Comptabiliser le nombre de valeurs

La première question que l'on peut se poser lorsque l'on a un jeu de données à analyser est de déterminer le nombre de valeurs.

Somme de valeurs

Un autre paramètre utile est de connaître la somme de ces valeurs.

Valeurs extrêmes

Les valeurs extrêmes sont les valeurs minimum et maximum.

Les paramètres de position

Tendance centrale

Ces paramètres permettent de rendre de compte du point d'équilibre du jeu de donnée.

Moyenne

La moyenne se calcule en divisant la somme des valeurs par le nombre d'observations.

À retenir - Moyenne

• le résumé le plus connu des informations

Ses propriétés :

• La moyenne des écarts à la moyenne est nulle.
• Peu sensible aux fluctuations d'échantillonnage.
• Sensible aux valeurs extrêmes.
• Mauvais résumé si la distribution est très dissymétrique

Médiane

Pour trouver la médiane, il faut classer les valeurs du plus petit au plus grand.Il suffit de regarder ou se trouve le chiffre médian dans une distribution. Il y a autant de sujets inférieurs à la médiane que supérieurs à la médiane.

Il s'agit donc de la distribution qui la partage en deux parties égales.

À retenir - médiane

Ses propriétés :

• La médiane est peu sensible aux valeurs extrêmes
• Ne se prête pas bien aux calculs mathématiques.

Mode

Il s'agit de la valeur la plus fréquemment retrouvé. Il s'agit de la valeur associée à la plus grande fréquence (absolue ou relative)

À retenir - Mode

Ses propriétés :

• Il est possible d'avoir plusieurs modes.
• Les modes relatifs sont toutes les valeurs précédées ou suivies de valeurs de fréquences inférieures.

Quantiles

Les quantiles divisent la distribution en plusieurs secteurs d'intérêt.

Quartiles

Les quantiles habituellement calculés sont les quartiles :

• Q1: 25% des valeurs sont inférieures au premier quartile
• Q2 ou médiane: 50% des valeurs sont inférieures au deuxième quartile
• Q3 : 75% des valeurs sont inférieures au troisième quartile

On interprète le graphique de façon suivante :

• 25% des valeurs sont inférieures ou égale à 9
• 50% des valeurs sont inférieures ou égale à 12
• 75% des valeurs sont inférieures ou égale à 14

Il est possible de choisir d'autre quantiles tel que Déciles, les Centiles, ou des Percentiles particuliers (par exemple 5% ou 95%).

À retenir - Quantiles

Ses propriétés :

• Il est possible de couper la distribution en
  • Quartiles
  • Déciles
  • Centiles
  • Percentiles particuliers

Les paramètres de dispersion

Ces paramètres rendent compte de l'étalement des données. Cela permet de montrer si les données sont éloignées ou proches de la moyenne.

Étendue

Il s'agit de différence entre les valeurs extrêmes de la distribution.

À retenir - Etendue

Ses propriétés :

• Le plus facile à calculer
• Très sensible aux valeurs extrêmes
• Indépendant de la valeur de position
• Ne tient pas compte des valeurs comprises entre les valeurs minimum et maximum

Intervalle Interquartile IQR

Il s'agit de la différence entre les valeurs du troisième et premier quartile.

IQR = 14 - 9 = 5

À retenir - IQR

Ses propriétés :

• Peu sensible aux valeurs extrêmes
• Indépendant de la valeur de position

Écarts à la moyenne

Il s'agit des écarts de chaque valeur par rapport à la moyenne.

À retenir - Ecart à la moyenne

• On constate des écarts positifs et des écarts négatifs.
• L'addition de tous ces écarts donne comme résultat une valeur égale. Cela ne permet pas de donner d'information sur la dispersion.
• Il s'agit des valeurs absolues des écarts à la moyenne

L'écart absolu moyen

Il s'agit de la moyenne arithmétique des valeurs absolues des écarts de chaque valeur par rapport à la moyenne.

Sur cette dernière ligne, vous visualisez la moyenne calculée à partir des valeurs de cette même colonne.

À retenir - Ecart moyen absolu

• Prend en compte toutes les observations et montre la dispersion des données autour de la moyenne.
• Peu sensible aux valeurs extrêmes
• Relativement simple à calculer et comprendre.
• Il ne permet pas la réalisation de calculs ultérieurs car les signes algébriques sont ignorés.

Variance

Il s'agit de la moyenne des carrés des écarts.
Il rend compte de l'éloignement de chaque valeur par rapport à la moyenne.

À retenir - Variance

Ses propriétés :

• Toujours positif
• Dépendant de la valeur de position
• Pas d'unité du même ordre que la valeur étudié

Écart-type

Il s'agit de la racine carré de la variance

Écart-type établi à partir d'un échantillon

Si on prend une série de n observations indépendante x_i dont la moyenne est x .

Soit par l'écart-type expérimental

Remarque : généralement,  le symbole σ est employé pour désigner l'écart-type, et s l'estimateur de l'écart-type. Ainsi, lorsque l'on calcule l'écart-type d'une grandeur à partir d'un échantillon, seule une estimation s de l'écart-type σ peut être obtenue. Le calcul est lui aussi différent puisque l'on utilise un nombre de degrés de liberté de n-1, car on ne connait pas l'ensemble de la population.

Soit par l'étendue

W_s (noté parfois R) est l'étendue et d_n est un coefficient dont la valeur dépend de la taille de l'échantillon.
Si l'on veut calculer l'écart-type avec cette méthode, on doit supposer que la distribution des valeurs de la population suit une loi normale. Elle est lue dans le tableau suivant :

La valeur de d_n sera récupérée dans le tableau suivant :

n	d2
2	1.128
3	1.693
4	2.059
5	2.326
6	2.534
7	2.704
8	2.847
9	2.970
10	3.078
11	3.173
12	3.258
13	3.336
14	3.407
15	3.472
16	3.532
17	3.588
18	3.640
19	3.689
20	3.735
21	3.778
22	3.819
23	3.858
24	3.895
25	3.931

Si la taille de l'échantillon est supérieur à 10, le meilleur estimateur de σ est l'écart-type expérimental.

Si la distribution suit une loi normale, il est possible de dire que :

• entre le 0 et ±1σ vous aurez 68.3% de vos observations.
• entre le 0 et ±2σ vous aurez 95.4% de vos observations.
• entre le 0 et ±3σ vous aurez 99.7.% de vos observations.

Vous trouverez un dossier complet sur ce sujet sur la page distribution normale .

Combinaison position/dispersion

Le coefficient de variation

Il combine les paramètres de moyenne et d'écart-type.

Il permet de comparer 2 variables de nature différente.

Détection de valeurs aberrantes

Règle de J.tuckey

Une valeur aberrante est une donnée qui s'écarte de façon marquée de l'ensemble des autres données. Une règle pratiques utilisées pour identifier une valeur aberrante est la suivante :

Règle : Une donnée peut-être appeler valeur aberrante si elle s'écarte d'une distance d'au moins 1,5x au-dessus du troisième quartile ou en dessous du premier quartier.

Une valeur aberrante doit être examinée avec soin pour identifier la cause d'éventuelles de cet écart important par rapport à l'ensemble des données.

Autres dossiers sur l'analyse de données sur commentprogresser.com