Estimation de paramètres

"Je veux extrapoler mes données"

Contactez moi pour vos questions

Mes idées cadeaux pour Noël

Estimmer les paramètres d'une population à partir d'un échantillon implique nécessairement de déterminer un niveau de précision.

Besoin de précision

Estimation, estimateur, critère

Faire une estimation implique nécessairement d'accompagner une proposition d'un degré de confiance.

On va voir dans ce dossier comment estimer la moyenne d'une population, un pourcentage de population et la variance d'une population. Bien sur ces estimations ne correspondront jamais aux valeurs exactes des paramètres de la population. Les erreurs sont inévitable lorsqu'il s'agit d'estimation, mais vous allez voir que l'importance de ces erreurs peut être évaluer et contrôler.

Une estimation : Un estimation est une valeur spécifique ou une quantité obtenue pour une statistique tel que la moyenne de l'échantillon, le pourcentage de l'échantillon, la variance de l'échantillon.

Un estimateur : Un estimateur est une statistique qui est utiliser pour estimer un paramètre.

Par exemple la moyenne de l'échantillon x est un estimateur de la moyenne μ. Voir tableau ci-dessous :

Correspondance Population Echantillon
Moyenne
μ
x
Variance
α2
s2
Ecart type
α
s
Taille
N
n
Pourcentage
π
p
Responsive image

Un estimateur sans biais : Un estimateur sans biais est un estimateur pour lequel la distribution d'échantillonnage a une moyenne qui est égale au parmètre de la population qui est estimé.

L'estimation est un processus qui consiste à produire une estimation d'un parametre de la population.

Les 2 types d'estimation

L'estimation ponctuelle

L'estimation ponctuel est une estimation où l'estimateu est un simple nombre utilisé pour estimer un paramètre de population.

L'estimation par intervalle

L'estimation par intervalle est une estimation où l'estimateur est une étendue de valeur utilisée pour estimer un paramètre de population.

En effet il est assez exceptionnel, par exemple, que la moyenne d'un échantillon soit exactement égale à la moyenne de la population.

Laquelle choisir ?

L'estimation ponctuelle sera presque tout le temps fausse et surtout ne laissera pas présager de la précision de l'estimation. A la différence de l'estimation par intervalle qui donnera une étendue qui contiendra le paramètre de la population. Dans ce cas l'erreur d'échantillonnage sera intégré dans l'intervalle. La précision de l'estimation est donc quantifiée. Bien sûr, une estimation par intervalle peut être fausse, mais,à la différence de l'estimation ponctuelle, la probalité d'erreur de l'intervalle peut être déterminé.

La largeur de l'intervalle

Un intervalle de confiance est un intervalle de valeurs à l'intérieur duquel la valeur exact se trouve probablement.
L'amplitude de l'intervalle caractérise la précision de l'estimation. Si l'on est dans le cas ou la taille d'échantillonnage est suffisament grande pour que la distribution d'échantillonnage suive une loi normale, on peut affirmer que 95.4% des moyennes des échantillons se situeront à ±2σx de μ.

On peut également faire l'affirmation inverse, si nous avons un échantillon qui a une moyenne x alors la moyenne μ de la population sera se situera à ±2σx de x.

Responsive image

Fiabilité et précision

Prenons l'exemple suivant :

La population possédant une cafetière à capsule se situe entre 27% et 33% de la population avec un risque de 5%.

  • La fiabilité est représentée par le chiffre de (5%) soit 95%
  • La précision est représentée par l'intervalle ( 33%-27%) soit 6%

 

Les lois statistiques

Des lois statistiques régissent les différents paramètres statistiques issus de l'échantillonnage telle que :

  • la loi de Student pour les moyennes
  • la loi du Chi2 pour les écarts type
  • la loi de Fisher pour le quotient de deux variances
  • la loi binomiale pour les proportions.

Choisir la loi qui convient pour traiter les résultats des échantillons est nécessaire mais dans certains cas il est possible d'utiliser des lois différentes Par exemple :

  • une loi normale à la place d'une loi de Student
  • une loi normale à la place d'une loi binomiale
  • une loi de Poisson à la place d'une loi binomiale
  • une loi normale à la place de la loi de Poisson

 

Etes-vous curieux ? Alors je vous conseille...

Livre très pratique pour faire des statistiques avec Excel rapidement. Cette page a été inspirée de méthodes décrites dans ce livre.
Dans le top 10 des livres que je recommande !


Pour aller plus loin consulter également le site qui constitue une importante source de connaissance : http://onlinestatbook.com/

Autres sites à découvrir

Autres dossiers à découvrir