Les distributions statistiques

Qu'est-ce qu'une distribution ?

Une distribution est une fonction qui associe une fréquence d'apparition à une classe de valeur. Cette fonction permet de résumer l'information contenue dans un ensemble de données.

Une distribution n'est pas un graphique. Une distribution est souvent associée à un graphique, mais n'en est pas un. Cette erreur est très répandue. Nous verrons plus loin quelles en sont les raisons.

Le premier type de représentation est sous forme de tableau.

Les représentations graphiques sont toutefois idéales pour se représenter les fréquences.

Distribution de fréquences relatives et distribution de probabilité

La distribution de fréquences relatives comptabilise le nombre de fois qu'un "événement" d'intérêt intervient. Il se base sur des observations.

• Exemple : Par exemple on lance 100 fois un dé et on compte combien de fois chaque face apparaît.
  

La distribution de probabilité, elle, permet d'approximer la distribution de fréquences d'une population qui est étudiée. Elle n'est pas le fruit d'observations.

Souvent, la distribution des valeurs d'un échantillon est proche de modèles mathématiques. Ces modèles sont appelés "modèles de distribution de probabilité" ou encore "loi de distribution de probabilité".

Distribution de fréquences relatives

A partir de maintenant vous pouvez toucher du doigt la puissance des statistiques qui permettent de présager d'un résultat avant même d'en d'avoir fait une expérience. Grâce à ce tableau, si vous deviez miser $10 sur la classe d'âge de la prochaine personne interrogée vous miseriez sur la classe d'âge 50 car c'est elle qui a la probabilité d'occurrence la plus grande dans notre exemple.

Représentation de la distribution sous forme de graphique

La distribution d'une variable discrète se représente sous forme de graphique en barres. Cela est possible, car il n'y a qu'un nombre limité et fini de catégories.

Variable continue

Exemple de variable continue: Distribution des poids

Le poids de 1000 individus est recueilli et donne le jeu de données suivant ci-dessous.

Vous avez ici un extrait des 21 premières valeurs. On remarquera tout de suite qu'il s'agit de variables continues.

Maintenant, je vous pose la question suivante :
"Quelle est la probabilité que si nous interrogions une nouvelle personne, son poids soit égale à 60 kg ?"

C'est grâce à notre connaissance de la distribution que nous pourrons répondre à cette question.

Représentation de la distribution sous forme de tableau:

Le regroupement en classe d'une variable continue engendre une perte d'information. Pour pallier à cela, il est possible de diminuer l'amplitude des classes et donc, donc d'augmenter leur nombre.
La représentation ci-dessous indique une amplitude de classe de a=10.

En agissant sur la largeur de la classe en la diminuant cela a pour conséquence de diminuer l'effectif de chaque classe. Cela implique également une diminution de leur fréquence relative.
Cela se traduit par une diminution de la hauteur et de la largeur des barres. En revanche la somme des fréquences relative dans l'air total de l'histogramme est toujours égal à 100 % . Si on augmente de façon trop importante le nombre de classes, la hauteur de chaque barre diminuera tellement que le graphique deviendra illisible.
Pour pallier ce problème, il faut diviser la probabilité p(x) par l'amplitude de la classe a soit la largeur du rectangle. f(x)=p(x)/a

L'air de chaque rectangle représente toujours la fréquence relative de la classe et F de X est appelée densité de fréquence relative.

Représentation de la distribution sous forme de ligne continue:

Comme nous l'avons vue, si on augmente le nombre de classes, la représentation d'une distribution d'une variable continue se présente sous la forme d'une ligne continue. Au delà d'un certain nombre de classes, il n'est pas possible de représenter la distribution de cette variable sous forme de barre.

Cette ligne s'appelle la fonction de densité de probabilité.

Si l'on souhaite connaître la probabilité associée au poids de 60kg, on ne peut pas juste lire la valeur associée :

En effet, il n'y a pas 23% de personnes qui ont exactement un poids de 60kg. La probabilité qu'une personne sélectionnée au hasard fasse exactement 60kg est quasiment de 0.

Pour pallier ce problème, il est possible de changer légèrement l'énoncé du problème et au lieu de spécifier une valeur précise, préciser plutôt une plage de valeurs. Dans le cas suivant l'aire entre 59 et 61 : P (59<x<61). Dans une situation avec des variables continues, les probabilités sont représentées par les aires en-dessous de la courbe. Plus l'aire sera grande plus la probabilité sera grande.

Ce calcul pourra se faire en obtenant les valeurs grâce aux tables de la loi normale. Vous pouvez vous référer au dossier loi normale .

Les lois de distribution de probabilités

Théoriquement il existe une infinité de modèles de distribution. Les lois de probabilité se distinguent par :

• leurs formes
• leurs paramètres de position
• leurs paramètres de dispersion

Pour déterminer le modèle que suit un processus, il faut exploiter les informations contenues dans l'échantillon grâce à des méthodes statistiques.

Une fois que le modèle est déterminé, il est utilisé pour prédire les propriétés de l'ensemble de la population. Dans toute prévision il existe différents degrés de précision. Plus la taille de l'échantillon est grande meilleure est la précision.

Les distributions ont des fonctions de densité de probabilité qui leur sont attachées. Elles constituent des lois qui permettent de décrire la manière avec laquelle sont distribuées les valeurs.

Une distribution de probabilités est simplement une énumération de tous les résultats possibles d'une expérience avec leurs probabilités respectives. Par exemple, le résultat d'un lancé de dés est soit 1,2,3,4,5, ou 6. Ces chiffres correspondent aux résultats possibles. Pour chacun de ces chiffres on associera une probabilité.

La même logique peut être employée pour déterminer les probabilités relatives des résultats de 2 lancés de dés.

Pour réaliser cette étude il faut d'abord énumérer dans un tableau les résultats possibles :

Résultats	Probabilité
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Total

Puis on associe les probabilités

Résultats	Probabilité
2	1/36
3	2/36
4	3/36
5	4/36
6	5/36
7	6/36
8	5/36
9	4/36
10	3/36
11	2/36
12	1/36
Total	36/36=1

Dans le tableau ci-dessus tous les résultats possibles sont listés. On notera que la somme de toutes les probabilités est égale à 1.

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